Cos'è una convoluzione bidimensionale

La convoluzione è un concetto dell'elaborazione dei segnali, che si riferisce a operazioni sui segnali per estrarre dati significativi. I matematici usano tecniche di convoluzione per costruire segnali d'uscita per qualsiasi segnale d'ingresso casuale, usando la risposta all'impulso fornita dal sistema. Analisi funzionale, ingegneria elettrica, probabilità e elaborazione di immagini e segnali sono aree che usano tecniche di convoluzione 2D. La convoluzione rappresenta un'operazione matematica su due funzioni, risultando in una terza funzione che evolve dalla modifica delle originali.

Derivazione della convoluzione 2D da quella 1D

Le convoluzioni bidimensionali sono le parti più dispendiose in un'applicazione. I matematici vi arrivano estendendo il trattamento matematico da una a due dimensioni. Le convoluzioni 2D sono estensioni di quelle 1D, dove la convoluzione avviene sia in orizzontale che in verticale su uno spazio bidimensionale. I matematici chiamano la risposta all'impulso fornita da un sistema in convoluzione 2D "kernel" o "filtro".

Applicazione della convoluzione 2D

I matematici generalizzano la teoria della convoluzione sviluppata per segnali 1D a due dimensioni per applicarla alle immagini. Trattano le due dimensioni separatamente nella maggior parte dei casi. Per applicare la convoluzione 2D al segnale f(x,y), prima applicano la Trasformata di Fourier per la variabile x mantenendo y fissa, poi per y mantenendo x fissa. Ottengono così una funzione di due variabili di frequenza. Tuttavia, non è possibile decomporre funzioni in due dimensioni in due sequenze separate di operazioni 1D. Ogni convoluzione 2D risulta in una singola serie, a meno che non sia possibile separare uno dei segnali d'ingresso.

Convoluzione 2D in elaborazione immagini e segnali

Le applicazioni di elaborazione immagini e segnali usano tecniche di convoluzione 2D. Nell'elaborazione immagini, l'operatore di convoluzione aiuta a variare le caratteristiche dell'immagine, agendo come filtro: liscia e affina i bordi, sfoca o distorce l'immagine, elimina rumori di diverse frequenze. Applicata all'elaborazione segnali, la convoluzione 2D aiuta a sopprimere e rimuovere parti non necessarie del segnale e a suddividerlo in più parti. L'elaborazione sismica usa anche tecniche di convoluzione 2D.

Convoluzione di un'immagine

Ogni immagine ha due dimensioni, quindi l'elaborazione può usare convoluzioni 2D. Durante una convoluzione d'immagine, i matematici associano ogni pixel a un sottoinsieme di array di filtro contenente elementi filtro della stessa dimensione. Ogni passo elabora i componenti di colore di ogni pixel associato a un elemento d'array. Gli elementi filtro scalano i corrispondenti componenti d'immagine. Dopo ogni passo, la posizione del filtro si sposta di uno, e così i pixel corrispondenti all'immagine d'ingresso. Così avviene la convoluzione dell'intera immagine.