Fisica della resistenza del filo: perché il raggio al quadrato governa la conduttività

La resistenza di un filo è inversamente proporzionale al quadrato del suo raggio (R ∝ 1/r²). Raddoppiare il raggio → ¼ della resistenza. Questa relazione quadratica è perché il dimensionamento del conduttore è la leva più potente per ridurre le perdite.

La formula fondamentale

R = ρ · L / A

• R = Resistenza (Ω)
• ρ (rho) = Resistività del materiale (Ω·m) — proprietà intrinseca (Cu: 1,68×10⁻⁸, Al: 2,82×10⁻⁸ @ 20°C)
• L = Lunghezza (m)
• A = Area di sezione trasversale (m²) = πr²

Sostituendo A: R = ρL / (πr²) → R ∝ 1/r²

Conseguenze pratiche

Perché guida la progettazione elettrica

1. Caduta di tensione (Vd = I·R): Dimezzare R (aumentando r di √2 ≈ 1,41×) dimezza la caduta di tensione. Critico per tratte lunghe, partenza motore, elettronica sensibile.
2. Perdita di potenza (P_loss = I²R): Dimezzare R dimezza la generazione di calore. Efficienza ↑, temperatura ↓, vita dell'isolamento ↑.
3. Ampacità (NEC 310.16): Area maggiore → più superficie per dissipare calore → corrente consentita maggiore. Ma non lineare — dissipazione del calore ∝ superficie (∝ r), generazione del calore ∝ I². Risultato: Ampacità ∝ r^1,5 circa.
4. Effetto pelle (CA): A 60 Hz, profondità pelle nel Cu ≈ 8,5 mm. Per r > 8,5 mm (> 4/0 AWG), la corrente si concentra vicino alla superficie → area effettiva < πr² → R_ac > R_dc. Soluzione: conduttori intrecciati, segmentati o cavi.
5. Compromesso costo/peso: Cu: $8–10/kg. Al: $2–3/kg ma 1,6× area necessaria. Alimentatori grandi spesso Al per risparmiare peso/costo.

Esempio reale: Alimentazione servizio 100A

• Cu: 4 AWG (r ≈ 2,03 mm, A = 21,2 mm²) → R = 0,815 Ω/km. Tratta 50 ft → 0,0124 Ω anello → Vd @ 100A = 1,24V (1% @ 120V). Buono.
• Al: 2 AWG (r ≈ 2,53 mm, A = 33,6 mm²) → R = 0,86 Ω/km (R simile, r maggiore). Più leggero, più economico.

Oltre il raggio: Il quadro completo

• Lunghezza (L): R ∝ L. Doppiare la lunghezza = doppiare la resistenza. Nessuna via di scampo.
• Materiale (ρ): Ag (migliore) > Cu > Au > Al > Fe > NiCr (nichelcromo). Il Cu è il punto di equilibrio.
• Temperatura: R = R₂₀[1 + α(T-20)]. Cu α = 0,00393/°C. 90°C → R = 1,275×R₂₀.
• Frequenza (Effetto pelle/prossimità): R_ac = R_dc × (1 + k_s + k_p).
• Connessioni: Un morsetto difettoso aggiunge 0,1–1 mΩ — equivalente a metri di filo.

Regola di progetto: Massimizza il raggio (entro costo/spazio) per minimizzare R. Ma ricorda: la morsettatura è spesso il punto di resistenza più alto nel circuito.