Trovare il Periodo Fondamentale di x(t) = 2cos(10t) + sin(4t)

Analisi del Segnale: Somma di Due Sinusoidi

Dato il segnale in tempo continuo:

x(t) = 2cos(10t) + sin(4t)

Passo 1: Identificare le Frequenze Angolari

• Termine 1: 2cos(10t) → ω₁ = 10 rad/s
• Termine 2: sin(4t) → ω₂ = 4 rad/s

Passo 2: Calcolare i Periodi Individuali

Periodo T = 2π / ω

• T₁ = 2π / 10 = π/5 secondi
• T₂ = 2π / 4 = π/2 secondi

Passo 3: Trovare il Minimo Comune Multiplo (LCM)

La somma è periodica se e solo se T₁/T₂ è razionale. Il periodo fondamentale T₀ = LCM(T₁, T₂).

Esprimere come multipli razionali di π:

• T₁ = (1/5)π
• T₂ = (1/2)π

LCM di frazioni: LCM(numeratori) / MCD(denominatori)

LCM(1, 1) / MCD(5, 2) = 1 / 1 = 1

Pertanto: T₀ = 1 × π = π secondi

Verifica

A t = π:

• cos(10π) = cos(0) = 1 → 2cos(10π) = 2
• sin(4π) = sin(0) = 0
• x(π) = 2 + 0 = 2 = x(0) ✓

Nessun T positivo più piccolo soddisfa entrambi: T₁ = π/5 richiede 5 cicli; T₂ = π/2 richiede 2 cicli. LCM = π.

Formula Generale per Somma di Sinusoidi

Per x(t) = Σ A_k cos(ω_kt + φ_k):

1. Calcolare T_k = 2π/ω_k per ogni termine
2. Se tutti ω_k/ω₁ sono razionali → periodico
3. T₀ = LCM(T₁, T₂, ..., T_n)
4. Se qualche rapporto di frequenza è irrazionale → aperiodico

Prospettiva del Dominio della Frequenza

Trasformata di Fourier: X(jω) = 2π[δ(ω-10) + δ(ω+10)] + jπ[δ(ω+4) - δ(ω-4)]

Componenti di frequenza a ±10 rad/s e ±4 rad/s. Frequenza fondamentale ω₀ = MCD(10, 4) = 2 rad/s. T₀ = 2π/ω₀ = π s. ✓

Risposta: Il periodo fondamentale è π secondi (≈ 3,1416 s).