Capacità di Canale di un Canale Gaussiano a Banda Limitata: Teorema di Shannon-Hartley
Il tasso di dati teorico massimo per un canale a banda limitata con rumore bianco gaussiano additivo (AWGN) è dato dal teorema di Shannon-Hartley:
Formula
C = B × log₂(1 + S/N)
Variabili
- C = Capacità di canale (bit al secondo, bps)
- B = Banda (Hertz, Hz)
- S = Potenza media del segnale (Watt)
- N = Potenza media del rumore (Watt)
- S/N = Rapporto segnale-rumore (lineare, non dB)
- log₂ = Logaritmo in base 2
Chiavi di Lettura
- Banda e rapporto segnale-rumore si compensano: Puoi aumentare la capacità allargando la banda o migliorando il rapporto segnale-rumore.
- Rendimenti decrescenti: La capacità cresce logarithmicamente con il rapporto segnale-rumore. Raddoppiare il rapporto aggiunge solo 1 bit/s/Hz.
- Limite a banda infinita: Quando B → ∞, C → (S/N₀) log₂(e) ≈ 1.44 × (S/N₀), dove N₀ = densità spettrale di potenza del rumore (W/Hz).
- Non realizzabile in pratica: Codici reali (LDPC, Turbo, Polar) si avvicinano entro 0.5–1 dB al limite di Shannon, ma perdite di implementazione, fading, interferenze e rumore non gaussiano riducono il throughput.
Esempio Svolto
Canale: B = 10 kHz, SNR = 10 dB
- Converti SNR in lineare: 10 dB = 10^(10/10) = 10
- C = 10.000 × log₂(1 + 10) = 10.000 × log₂(11) ≈ 10.000 × 3.459 = 34,6 kbps
Forme Correlate
- Efficienza spettrale: η = C/B = log₂(1+SNR) (bit/s/Hz)
- Forma Eb/N₀: C = B log₂(1 + (Eb/N₀) × (C/B)) → usato per la progettazione modulazione/codifica
Questo è il limite fondamentale—nessuno schema di codifica può superarlo. Tutti i sistemi pratici operano al di sotto.