Frequenza di Taglio vs. Larghezza di Banda: La Relazione Dipende dall'Ordine del Filtro

Definizioni Prima

• Frequenza di taglio (f_c, f_-3dB): Frequenza dove la potenza scende alla metà (-3 dB) o la tensione a 1/√2 del valore di banda passante.
• Larghezza di banda (BW): Larghezza della banda passante — tipicamente f_superiore - f_inferiore ai punti -3 dB. Per passa-basso: BW = f_c (poiché f_inferiore = 0).

Caso 1: Filtri del Primo Ordine (Singolo Polo) — RC, RL

• Funzione di trasferimento: H(s) = 1 / (1 + s/ω_c)
• BW = f_c esattamente (per passa-basso).
• Pendenza: -6 dB/ottava (-20 dB/decade).
• Fase a f_c: -45°.

Caso 2: Filtri del Secondo Ordine — Sallen-Key, RLC, Biquad

Caso 3: Filtri di Ordine Superiore (n ≥ 3)

• Costruiti da sezioni cascadate del primo/secondo ordine.
• La frequenza -3 dB complessiva (f_{c,complessiva}) si sposta più in basso rispetto alla f_c della sezione.
• Per n sezioni Butterworth identiche: f_{c,complessiva} = f_c,sezione / (2^1/n - 1)^1/2.
• Esempio: Butterworth 4° ordine (due sezioni Q=0,707) → f_{c,complessiva} = 0,84 × f_c,sezione.

Filtri Passa-banda / Taglia-banda

• Frequenza centrale f₀: Media geometrica: f₀ = √(f_L × f_H).
• Larghezza di banda: BW = f_H - f_L (a -3 dB).
• Fattore di qualità: Q = f₀ / BW.
• Frequenze di taglio: f_L e f_H sono i due punti -3 dB — ciascuno è un "taglio".

Regola di Progettazione Pratica

1. Specificare la BW richiesta (o f_L, f_H) e la ripidità della pendenza (dB/ottava).
2. Selezionare il tipo di filtro (Butterworth, Chebyshev, Bessel, Ellittico) e l'ordine.
3. Calcolare i valori di f_c delle sezioni da tabelle/software (FilterPro, ADI Filter Wizard, MATLAB).
4. Simulare — verificare che i punti -3 dB corrispondano alle specifiche.

Analogia: Il Cancello

• f_c = altezza del cancello.
• BW = intervallo di altezze che passano attraverso.
• Primo ordine: Il cancello è una singola sbarra → BW = altezza sbarra.
• Ordine superiore: Il cancello ha più sbarre, parte superiore curva → intervallo consentito ≠ sbarra più alta.

Riepilogo

• Passa-basso, 1° ordine: BW = f_c.
• Passa-basso, 2° ordine Butterworth: BW = f_c.
• Passa-basso, altri 2° ordine: BW ≠ f_c (dipende da Q/ζ).
• Ordine superiore: BW < f_c,sezione (il cascading sposta l'angolo verso il basso).
• Passa-banda: BW = f_H - f_L; f_c non usato (usare f₀, Q).